Rubikova kocka 3×3

Jan 26, 2018 by

Ovo nije tekst o istoriji i matematici klasične Rubikove 3×3 kocke – to ćemo drugi put. Za početak, pozabavićemo se samo jednim postupkom (algoritmom) rešavanja ove kocke. Ukratko, postupak se radi u 3 faze – slažu se slojevi kocke, redom. Cilj je da se uz poznavanje 4-5 složenijih poteza nauči slaganje kocke, pre svega gledajući ih na slici.

 

Neki osnovni pojmovi

 

Kocka ima 6 strana (površina kocke) koje se sustiču u 12 ivica, a ivice se sustiču u 8 temena.

Kod kocke 3×3 imamo: 3 horizontalna sloja (gornji, srednji, donji), 3 vertikalna sloja paralelna prednjoj strani kocke u koju se gleda (prednji, srednji, zadnji), i 3 ,,bočna” vertikalna sloja upravna na prethodne (levi, srednji, desni). Svaki sloj se može rotirati zasebno.

Slika 1a – strane kocke i slojevi F, R, U (i smerovi rotacije u pravcu kazaljke na satu)
   … ostale slike nisu uopšte ovako strašne, zaista!

 

 

Slika 1b –  smerovi u pravcu kazaljke na satu

Na slici iznad, primera radi, prednja strana F (okrenuta ka posmatraču) je plave boje – i njoj odgovara sloj F (koji se može okretati ako se druga dva iza drže). Desna strana (i sloj) R je onda bele boje, a gornja strana (i sloj) U je žute boje. Slojevi međusobno dele neke kockice.

 

Svaki sloj čine kockice (9 komada kod strana, 8 kod središnjih slojeva) koje mogu biti:

  • Temene (na temenima kocke), koje imaju 3 boje
  • Središnje (na sredini ivica kocke), koje imaju 2 boje
  • Centralne (na sredini strane kocke), ima jednu boju – kaže se da je to boja te strane

 

Cilj je složiti kocku tako da svakoj strani odgovaraju strane kockica iste boje.

 

Rotaciju sloja za 90 stepeni u pravcu kazaljke na satu obeležićemo sa: F, L, R, U, D, B – što je ujedno i oznaka za prednju (Front), levu (Left), desnu (Right), gornju (Up), donju (Down), i zadnju stranu tj. sloj kocke (Back).

 

Inverznu rotaciju za 90 stepeni (suprotno od pravca kazaljke na satu) obeležićemo malim odgovorajućim slovom (f, l, r, u, d, b).

 

Nakon svake rotacije, pazimo da kocka ostane isto okrenuta (prednja strana tj. centralna kockica ostaje prednja, gornja ostaje okrenuta na gore, desna ostaje desno, itd), iako se raspored kockica menja. Ako postupak zahteva, celu kocku možemo okretati u bilo kom pravcu, a nova orijentacija cele kocke onda dobija novu prednju stranu (okrenutu ka posmatraču), gornju i desnu stranu. Na primer, tražimo temenu kockicu gornjeg sloja koja nije složena, i okrenemo kocku tako da ta temena kockica bude u gornjem, prednjem i desnom kraju – takav je dogovor!

 

Svaku transformaciju kocke možemo prikazati kao kompoziciju tj. kombinaciju niza slova osnovnih rotacija slojeva kocke. Na primer, sa fUlU (,,l” je malo ,,L”) označavamo niz:

  • okretanje prednje strane suprotno od kazaljke na satu (f),
  • zatim okretanje gornje strane u pravcu kazaljke na satu (U),
  • zatim okretanje leve strane suprotno od kazaljke na satu (l),
  • i na kraju okretanje gornje strane u pravcu kazaljke na satu (U).

 

Slika 2 – kako zameniti boje kockice na sredini ivice (promeniti orijentaciju) – fUlU

 

Ovom transformacijom (fUlU) konkretno se ,,zamenjuju” boje središnje kockice gornje ivice prednje strane (narandžasta i zelena na slici 2) – kaže se, menja joj se orijentacija.

 

 

Neke osobine slojeva i transformacija kocke

 

Poučan deo teksta, koji nije u početku toliko važan (bar za rešavanje kocke – nestrpljivi mogu preći na sledeći odeljak ,,Rešavanje kocke”):

Tri sloja strana kocke (npr. F, R i U) se sustiču u temenim kockicama (na slici 1 se vidi da temena kocka ima sva 3 navedena slova), a dva sloja strana sustiču se u kockicama na ivici kocke (na slici 1 imaju po dva slova).

 

  • Temene kockice se mogu premestiti transformacijom samo u temene, i imaju 3 moguće orijentacije.

 

  • Kockice na sredini ivice se mogu premestiti transformacijom samo u sredine ivica, i imaju 2 moguće orijentacije.

 

  • Centralne kockice na sredini svake strane kod neparnih kocki uvek ostaju gde su – takva centralna kockica ne menja mesto, ima boju, i to je boja te strane (i jedina moguća orijentacija).

 

 

Sve transformacije su ciklične prirode – ako se ponavljaju dovoljan broj puta, dobija se početni položaj! Ovo nije čudno, s obzirom da su i rotacije slojeva takve, a sve transformacije se dobijaju kombinacijama rotacija.

 

Pri tom, neke kockice se svakom transformacijom menjaju (menjaju mesto i/ili orijentaciju), a neke ostaju na istom mestu (invarijantne – transformacija ih ČUVA).

 

Redosled transformacija u kompoziciji/kombinaciji je važan – ako se promeni, ne dobija se (obavezno) ista transformacija.

 

Ako smo zapamtili redosled operacija u transformaciji, uvek možemo napraviti ,,Undo” transformacije tako što se urade redom unatrag sve rotacije od poslednje do prve – inverzna transformacija.

 

 

Rešavanje kocke

 

Rešavanje počinje odabirom strane koju prvo rešavamo, i postavljamo je da bude gornji sloj. Cilj je naravno odabrati stranu oko koje će biti ,,najmanje posla” (nešto više o tome kasnije).

 

 

Prva faza – prvi sloj

 

Okrenuti kocku tako da odabrani sloj bude okrenut gore (U), i prvo složiti ,,krst” boje gornje strane (potezima/transformacijama 1.1 i 1.2), a onda njene temene kockice (2.1 i 2.2):

1.1)    Naći središnju kockicu koja odgovara jednoj od bočnih stranica (u koju se gleda), i npr. sa F ili FF dovesti je na gornji sloj, bočne boje (krsta) poklapaju sa bojom središnjih kockica!

Slika 3 – prvo složiti ,,krst” gornje strane, vodeći računa da se
bočne boje (krsta) poklapaju sa bojom središnjih kockica!

 

1.2)   fUlu – ,,okretanje” tj. menjanje orijentacije kockice na sredini gornje ivice (slika 2).

 

Ovo je samo jedan od mogućih načina da se to postigne – ne moraju se obavezno koristiti ove transformacije, čitaocu se ostavlja da pronađe druge načine ako želi (uostalom, kao i za sve ostale). Važno je samo da se poklapaju bočne strane kockica gornje ivice sa središnjim kockicama bočnih strana kocke!

 

Sada treba ,,krstu” dodati temene kockice:

 

2.1)   rdRD – rešavanje desne prednje temene kockice: tražena kockica odgovarajućih boja se na početku postavi ispod tog gornjeg desnog temena, u donjem desnom temenu (ako se već ne nalazi u gornjem sloju).

 

Slika 4 – slaganje temenih kockica

 

2.2)   LDld – isto to, ali sa leve strane (može se koristiti samo jedna od ovih transformacija, ali ne i obe za isto teme).

 

Ove transformacije (2.1 ili 2.2) ponavljati uzastopno sve dok se ne dobije željena orijentacija temene kockice.

 

  • nisu uparene boje temene kockice sa bojama (sredina) strana? RddrD, i onda postupak rdRD – bolje je odmah voditi računa o tome da je kockica na ispravnom temenu!

 

  • nisu uparene središnje kockice gornjih ivica sa bojom (sredine) gornje i bočne strane? Kao i prethodno, lakše je na početku odmah dovesti središnju kockicu na pravo mesto.

 

Nakon ovih transformacija, gornji sloj mora biti složen (kockicama iste boje), tako da boje bočnih strana kockica odgovaraju boji strane (središnje kockice):

 

Čak i kada se pogrešna kockica nađe na temenu, mogu se ispraviti i rdRD transformacijom na kraju orijentisati (npr. sa rDrdrDrr se zamene mesta kockicama na slici 5, uz rdRD):

Slika 5 – svaka bočna strana temene kockice mora odgovarati
boji strane kocke (središnjih kocki bočnih strana)

 

Ako se vodi računa o tome da svaka bočna strana središnjih kockica gornje strane u ,,krstu” ima istu boju kao i odgovarajuća središnja kockica bočnih strana kocke (zelene strelice na slici 5) – onda isto tako treba voditi računa da se ,,smesti” temena kockica na odgovarajuće mesto, tako da joj se bočne boje poklope odmah sa središnjim kockicama bočnih strana kocke … onda nisu potrebni prethodni ,,trikovi” za zamenu mesta kockicama (označene narandžasto na slici 5 i zamena crvenim strelicama).

 

Okrenuti sada kocku tako da složeni sloj bude okrenut na dole, i onda smo spremni za narednu fazu …

Slika 5a – prvi sloj složen (sada okrenut dole), bočne boje usklađene sa središnjim kockicama bočnih strana

 

 

Druga faza – drugi sloj

 

Prethodno složeni sloj je sada dole, boje kockice na sredini gornje ivice odgovaraju prednjoj i bočnoj strani:

3.1)   URurufUF – šta ustvari radi ova transformacija, najbolje se vidi na slikama 6-8, gde tri označene kockice menjanju mesta svaki put, a ostale ostaju netaknute (rotacija kockica URurufUF transformacijom):

Slika 6 – rotacija kockica URurufUF transformacijom

Slika 7 – rotacija kockica transformacijom URurufUF

 

Slika 8 – postavljena ispravna kockica i orijentacija transformacijom URurufUF
Zadatak: kako najkraće otkriti posledice GIMP-a

 

3.2)  ulULUFuf – simetrično prethodnom, samo se odnosni na levu stranu (umesto desne) – OPCIONO.

 

Šta ako se desi da su ,,obrnute” (orijentacije) boje kockice na sredini bočne ivice, iako je na pravom mestu? Ponoviti 3.2, pa UU, pa opet 3.2.

 

 

Treća faza – treći sloj

 

Kocka bi sada trebala da ima rešen drugi sloj ceo, i ,,L” sa bojom gornjeg (trećeg) sloja (žuta u slučaju na slici 9), ili ,,horizontalnu” liniju, ili ,,krst” – ovo poslednje je cilj najpre … ako je već tako, preskočiti transformacije 4) opisane dalje.

 

Okrenuti horizontalno sada celu kocku za 180 stepeni, tako da se dobije pozicija ,,gornje levo” za L, gledano odozgo, u slučaju na slici 9 (ili linija po dubini, isprekidanom i žutom bojom):

 

Slika 9 – drugi sloj složen, i žuti ,,L” na gornjoj strani (u poziciji dole-levo odozgo gledano)

 

I onda, ponavljati uzastopno sledeću transformaciju (linija po širini se dobije nakon prve primene transformacije, ,,krst” nakon druge, u slučaju na slikama 9-11):

4)   FRUruf

Slika 10FRUruf transformacija

Slika 11FRUruf transformacija

Dobijeni ,,krst” se u bar dve boje mora složiti sa bojama strana (desna i zadnja strana se poklapaju – vrteti U ako i koliko treba) – na primeru na slici 12 to su plava i bela bočna strana kocke:

 

Slika 12 – bela strana će biti na zadnjoj, a plava na desnoj strani nakon okretanja

 

Ako se već poklapaju sve četiri strane i boje bočnih središnjih kockica gornjeg sloja, preskočiti ovaj korak – inače, primeniti transformaciju:

5) RUrURUUr

 

Slika 13RUrURUUr transformacija

 

Slika 14RUrURUUr transformacija

Ako se prednja i zadnja strana poklapaju (umesto dve susedne), ponoviti opet isto, dok se ne dobije ,,krst” sa pravilno raspoređenim bojama bočnih strana kockica ,,krsta”. Sada imamo ,,krst” ispravno postavljen u odnosu na boje bočnih strana kocke. Sada još samo treba namestiti 4 (ili manje, uz malo sreće) temene kockice trećeg sloja.

 

 

Završnica

 

Među temenima gornje strane, bar jedno ima odgovarajuće boje svojih strana (uz nešto sreće, ovaj korak se može preskočiti ako su već poređane ispravno sve 4 bočne strane ,,krsta”) – to neka bude prednje desno teme. Sada ponavljati transformacije:

6) URulUruL – do dva puta ponoviti da svim temenima odgovaraju boje strana.

 

Slika 15URulUruL i rdRD transformacije

 

Nakon toga, treba samo još rešiti orijentaciju temenih kockica. Prvu koja nije dobro orijentisana (kojoj se ,,ne poklapaju” boje bočnih strana sa stranama kocke) postaviti tako da bude prednja desna kockica (gornje sloja), i onda ponavljati transformaciju:

7) rdRD

 

Ovo ponavljati dok se ne složi. Onda uraditi jedno ili više U, tako da se opet namesti sledeća problematična temena kockica na mesto prednje desne (ako ih ima više, krenuti od prve tako da ostale slede suprotno od pravca kazaljke na satu) – pa opet ponavljati 7), redom za sve problematične temene kockice.

 

8) Možda još U na kraju (ako je potrebno). Kocka je složena!

 

Slika 16 – Q.E.D. (quod erat demonstrandum)

 

Poznavanjem ukupnooooo …  redom pravila, 1.2 (zaista može i na druge načine koje ne treba pamtiti), 2.1, 3.1, 4, 5, 6, 7 … 7 je isto kao i 2.1 (i lako se pamti), zar treba pamtiti 8 … dakle, pamćenjem ukupno 4-5 transformacija se može složiti svaka kocka. Naravno, potezi se vremenom pamte sve više mehanički-motorički, ali daleko su zanimljivije mnoge prečice uz neka dodatna pravila.

 

Uz nešto malo matematike (algebre) cikličnih grupa, mogu se bolje razumeti ove transformacije, i otkriti lakše mnoge prečice …

Social Comments

Related Posts

Share This

Leave a Reply